Многогранники

Многогрнники

поздравление

provided by flash-gear.com

розы

15 розы

Собрать картинку

кроссворд Jigsaw Puzzle Game » jigsaw puzzles online

самостоятельная работа from chulkova

иррациональные уравнения1

Прочитать другие публикации на Calaméo

тест1

тест1

Прочитать другие публикации на Calaméo

Экзаменационные материалы по математике и физике 2010 года (прил. к ж. Квант № 6 2010)

Publish at Calameo or read more publications.

Формулы площадей и объемов многогранников

Объем цилиндра, формула

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр — круговой если в основании его лежит круг. См. также Площадь поверхности цилиндра

Объем всякого цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

1.

V=π r2 h

(r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра)

Объем круглого конуса, формула

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения. См. также Площадь поверхности круглого конуса

Объем круглого конуса равен одной трети произведения площади основания S на высоту H:

1.

(R - радиус вращения конуса; H - высота конуса)

Объем пирамиды, формула

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)

1.

(S - площадь основания пирамиды, H - высота пирамиды)

Объем прямоугольного параллелепипеда, формула

Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограмм. Параллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:

1.	V= SH= abc

(H - высота параллелепипеда, a,b,c - ребра параллелепипеда)

Объем куба, формула.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны. Объем куба равен кубу его ребра:

V=H3

                                                       Объем шара, формула

Шар или сфера. Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара.

Объем шара равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и поверхность шара, а высота есть радиус шара

Объем шара в полтора раза меньше, чем объем описанного вокруг него цилиндра.

1.

(R - радиус шара)

Объем шарового сегмента, формула

Часть шара, [шар, сфера] осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезокNM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента.

Объем шарового сегмента выражается формулой:

1.

(R - радиус большого круга шара, h - высота шарового сегмента)

Объем шарового сектора, формула

Шаровой сектор — это часть шара [шар, сфера], ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.

Объем шарового сектора равен объему пирамиды, основание которой имеет ту же площадь, что и вырезаемая сектором часть шаровой поверхности, а высота равна радиусу шара:

1.

h — высота шарового сегмента, принадлежащего шаровому сектору.

Объем шарового слоя, формула

Шаровой слой — это часть шара [шар, сфера], заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниямиON — это высота шарового слоя.

Объем шарового слоя выражается формулой:

1.

r₁, r₂ — радиусы оснований шарового слоя.

Нормы оценок аттестационной работы по математике

       .  Оценка "+" ставится за верное и полное  выполнение задания

       .  Оценка ""  ставится за задание , в котором допущена незначительная погрешность  (например, арифметическая  ошибка, не повлиявшая принципиально на ход решения задачи       и   не упростившая задачу).  

       .  Оценка "" ставится , если при решении допущена  серьезная ошибка, но студент показал знание алгоритма решения задачи и довел решение до ответа.

       .Оценка " -" ставится ,если  задача решена в принципе неверно, если решение содержит    более одной ошибки, если студент не приступил к решению задачи.

                        

 За работу ставится оценка "5", если студент верно и полностью решил
 любые 9 заданий , т.е, студент набрал 27 баллов  " чистыми" плюсами.

                         За работу ставится оценка " 4 ", если студент набрал 21 балл, из них 18 баллов "чистыми" плюсами.

                           За работу ставится оценка "  3 ", если студент набрал 15 балл, из них 12 баллов "чистыми" плюсами.

                            В текущем учебном году на выпускных экзаменах разрешается использовать справочный материал, помещенный в указанном пособии. Вместе стем, категорически недопустимо использование на экзамене других пособий, справочников, всевозможных сборников решений и т. п. Пользоваться вычислительными таблицами и микрокалькулятором не разрешается.       

                               

Задачи для студентов, интересующихся стереометрией

Задача №1. Докажите, что сумма квадратов двух противоположных ребер тетраэдра вдвое больше суммы  суммы квадратов отрезков, соединяющих соответственно середины остальных противоположных ребер.
Задача №2  Куб, шар, цилиндр, и конус (у двух последних тел диаметры оснований  равны высоте ) имеют равные площади поверхностей. Какое из этих тел имеет наибольший объем и какое - наименьший?
Задача №3.  Найдите множество оснований всех перпендикуляров , проведенных из данной точки А, не лежащих на прямой ВС, к плоскостям, проходящим через эту прямую.
Задача №4.  Докажите, что если  одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Задача №5.  Сколько существует плоскостей, каждая из которых равноудалена от четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости?
Задача №6.  Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.
Задача №7.  Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.
Задача №8. Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба со стороной 1 см?
Задача №9. Докажите, что для любого выпуклого многоугольника сумма числа граней и вершин больше числа ребер на 2.
Задача №10. Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
Задача №11. Найдите множество центров всех сечений шара плоскостями, проходящими через данную прямую, не пересекающую шар.

Для студентов 105 и 107 групп,не присутствующих на контрольной работе и зачете по теме:"Многогранники и тела вращения"

                                             





 Вариант №1.

Задача№1. В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня 80 см.Какого уровня достигнет вода,если ее перелить в другой цилиндрический сосуд,у которого радиус основания в 4 раза больше,чем у первого?Ответ дайте в см.

Задача№2. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго.Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Задача№3.Дана треугольная пирамида,стороны основания которой равны 15 см.,13 см и 4 см.Высота пирамиды равна наибольшей стороне основания.Найти объем пирамиды.

Вариант№2.

Задача№1. В сосуде,имеющую форму конуса,уровень жидкости достигает 0.5 высоты.Объем жидкости равен 70 мл.Сколько миллилитров жидкости нужно долить,чтобы полностью наполнить сосуд?

Задача№2. Объем одного шара в 9 раз больше объема второго.Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
Задача№3. Дана треугольная пирамида,стороны основания которой равны 35 см.,29 см и 8 см.Высота пирамиды равна наименьшей стороне основания.Найти объем пирамиды.

                                                                   Вариант№3.

Вариант№1. В прямой треугольной призме в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 7 см .Высота пирамиды равна гипотенузе  треугольника, лежащего в основании.Вычислите объем призмы.

Задача№2. Измерения параллелепипеда равны 6 см , 8 см и 10 см. Вычислить площадь диагонального сечения параллелепипеда. 

Задача№3. В правильной четырехугольной пирамиде боковая поверхность равна 14,76,  а полная поверхность 18. Найдите сторону основания и высоту пирамиды.

                                                                      Вариант№4.

Вариант№1. Основание прямого параллелепипеда  - ромб, площадь которого 1. Площади диагональных сечений 3 и 6.Найдите объем параллелепипеда.

Задача№2. Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.

Задача№3.Чему равен объем шара, описанного около куба с ребром 2 ?

Готовимся к экзамену по математике

Задача  № 1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.
Задача  № 2. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребро увеличить в три раза ?
Задача  № 3. Осевое сечение цилиндра - квадрат , площадь которого равна 80. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра, если его диагональ равна 10.
Задача  № 4.Диагональ куба равна 34. Найдите площадь его поверхности.
Задача  № 5.Осевое сечение цилиндра-квадрат, длина диагонали которого равна 20 см. Найдите  радиус основания цилиндра.
Задача  № 6.В шаре радиуса 25 см на расстоянии 17 см от центра проведена секущая площадь. Найдите площадь полученного сечения.
Задача  № 7.Дана треугольная пирамида , основанием которой случит прямоугольный треугольник с гипотенузой равной 10 см и катетом 6 см. Высота пирамиды равна наибольшему катету. Найдите объем пирамиды.
Задача  № 8. Конус вписан в цилиндр. Объем конуса равен 5. Найдите объем  цилиндра.
Задача  № 9. Осевое сечение конуса - прямоугольный треугольник, с гипотенузой равной 12. Чему равен объем конуса?
Задача  № 10. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка  Е - середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды SABC.
Задача  № 11. Все стороны правильного треугольника касаются сферы радиуса 20 см. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его сторона равна 60 см.

Задачи по стереометрии для студентов 105 и 107 групп

Задача №1. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите образующую конуса.
Задача № 2. Высота конуса равна 4, а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.
Задача № 3.Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

Задача № 4. В правильной треугольной пирамиде SABC  P - середина ребра AB,  S - вершина. Известно, что BC = 5, а SP = 6.Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Задача № 5. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
Задача № 6. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
Задача № 7. Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задача № 8. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
Задача № 9.Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?

Технология машиностроения

Способы настройки: а) Поперечным смещением задней бабки (на величину h) для обтачивания конических поверхностей h=(при обработке конуса по всей длине заготовки) . Пусть дано: D =80мм; d = 70мм; . Найти h.

б) поворотом верхней части суппорта (на угол) для обтачивания конических поверхностей используется формула (для усеченного конуса).

Пусть дано:
D =48мм; d = 38мм; l =100мм. Найти угол

  

Гостиничный сервис

В группах ,,Гостиничный  сервиз” на уроках математики, используем  задачи близкие по их специализации:

Задача

Рассчитайте стоимость проживания в гостинице в зависимости от даты и времени заезда и выезда в соответствии с Правилами предоставления гостиничных услуг в РФ, используя следующие данные:

1. Одноместный номер стоимостью 160 у.е.

Заезд:      15 марта в 19.00

Выезд:    19 марта в 19.00

2. Номер люкс стоимостью 220 у.е.

Заезд:      15 марта в 20.00

Выезд:     17 марта в 20.00

3. Апартаменты стоимостью 300 у.е.

Заезд:     21 марта в 05.00

Выезд:   24 марта в 22.00

4. Номер люкс стоимостью 240 у.е.

Заезд:      16 марта в 10.00

Выезд:     20 марта в 19.00

5. Апартаменты стоимостью 480 у.е.

Заезд:     22 марта в 03.00

Выезд:   22 марта в 15.00